“Một tập hợp trên mặt phẳng mà trong đó bạn có thể xoay trọn một cây kim với độ dài 1 có thể nhỏ bao nhiêu?”

Câu hỏi tuyệt vời này được đặt ra bởi nhà toán học Nhật Bản S ¯oichi Kakeya vào năm 1917. Nó lập tức gây được sự chú ý, và cùng với các phiên bản tương tự cho không gian với số chiều cao hơn, đóng góp vào sự khởi đầu của cả một ngành mới, mà ngày nay gọi là lý thuyết độ đo hình học. Để rõ ràng, với từ “xoay” Kakeya hình dung trong đầu một chuyển động liên tục hoán đổi vị trí 2 đầu cây kim, giống như một Samurai đang múa gậy. Những chuyển động như vậy diễn ra trong một tập con compact của mặt phẳng.

Vành là một cấu trúc quan trọng trong đại số hiện đại. Nếu phép nhân của một vành R có phần tử đơn vị và mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch đối với phép nhân, thì R được gọi là một vành chia. Như vậy, thứ duy nhất còn thiếu để biến R thành một trường là tính giao hoán của phép nhân. Ví dụ nổi tiếng nhất về vành chia không giao hoán là vành quaternion, được tìm ra bởi Hamilton. Tuy nhiên, như tựa đề của chương đã tiết lộ, mọi vành như vậy đều nhất thiết phải có vô hạn phần tử. Nếu R hữu hạn thì dựa trên các tiên đề khác của vành ta có thể suy ra phép nhân của R là giao hoán.

Kết quả mà giờ đây đã thành kinh điển này đã từng thu hút khả năng sáng tạo của nhiều nhà toán học, bởi, như Herstein đã viết: “Nó liên kết theo một cách không ngờ được những thứ tưởng chừng không liên quan, số các phần tử trong một hệ đại số và phép nhân của hệ đó.”

Định lý. Mọi vành chia hữu hạn đều giao hoán.

“π là số vô tỷ”
Điều này được phỏng đoán bởi Aristotle, khi ông khẳng định rằng đường kính và
chu vi của một hình tròn không thể tỉ lệ với nhau được. Chứng minh đầu tiên cho
mệnh đề cơ bản này được đưa ra bởi Johann Heinrich Lambert vào năm 1766

“Cuối cùng, chúng ta chuyển sang kết quả thứ ba, được cho là kết quả cơ bản quan trọng nhất của lý thuyết về tập hữu hạn, “Định lý Lấy Người Mình Yêu” của Philip Hall, được chứng minh vào năm 1935. Nó đã mở ra cánh cửa dẫn tới một lý thuyết có ứng dụng rộng rãi mà ngày nay gọi là lý thuyết ghép cặp, chúng ta sẽ thấy một vài trong số đó sau đây”

“Phải trộn bao lâu đến khi bộ bài trở nên hoàn toàn ngẫu nhiên?
Phân tích các quá trình ngẫu nhiên là một nhiệm vụ quen thuộc trong cuộc sống (“Mất bao lâu để đến sân bay trong giờ cao điểm?”) cũng như trong toán học. Tất nhiên, để có được những câu trả lời có nhiều ý nghĩa phụ thuộc rất nhiều vào việc phát biểu những câu hỏi có nhiều ý nghĩa. Với vấn đề trộn bài, điều này có nghĩa là chúng ta phải

• xác định rõ cỡ của bộ bài (chẳng hạn, có n = 52 lá bài),
• nói cách chúng ta trộn bài (đầu tiên chúng ta sẽ phân tích kiểu trộn ngẫu nhiên
  lá bài trên cùng rồi sau đó là cách trộn bài riffle thực tế và hiệu quả hơn) và
  cuối cùng
• giải thích rõ việc ta nói một bộ bài là “ngẫu nhiên” hay “gần như ngẫu nhiên” có nghĩa gì.

Vì thế mục tiêu của chúng ta trong chương này là một sự phân tích về cách trộn bài riffle, của Edgar N. Gilbert và Claude Shannon (1955, chưa công bố) và Jim Reeds (1981, chưa công bố), theo nhà thống kê học David Aldous và nhà ảo thuật rồi chuyển nghề thành nhà toán học Persi Diaconis [1].”